p進物理学を求めて

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p 進コインがあったりしないだろうか。そのコインは n 回振った時に a_n 回表が出るとして何か p 進数 t があって

a_n/n ---> t (p進距離で収束)

となるのである。

さて非存在を示そう。コーシー列ならば特に

|a_p^n/p^n-a_p^(n+1)/p^(n+1)|_p

が小さくならねばならぬ、すると

pa_p^n-a_p^(n+1)

がp^(n+1)よりはるかに沢山 p で割れなければならぬがそもそも a_n<=n なので無理である。 p 進物理学は遠い…

(おまけ： p 進距離をはじめて聞く人の為に)
p を素数として|n|_p を

n が p でちょうどk 回割れるとき p^-k

と定めたものがp 進絶対値です。三角不等式を示して見ましょう…

Written by 立川裕二。メールはこちらにお願いします。